數學歸納法公開課

① IT基礎從哪裡學習

IT是很廣泛的，比如如下三個大體
一、編程，需要較好的英語和數學基礎。
二、網業製作，有編程基礎，網頁製作軟體應用熟練，對美工和繪畫藝術有基本更好。
三、網路安全，編程較好，英語較好，軟硬體知識有軟深了解。
選好主要的目標，是要技術類還是要其他看你自己了，不管怎麼樣對編程語言要有一定的了解。對計算機本身的基礎知識也要多了解，多看多做，不懂就問。積累越多越好。

② 高中數學教師請進：數列的極限 優質課

講新授課好
第三章「數列」教材分析
本章是數列，特別是等差數列與等比數列，有著較為廣泛的實際應用 如各種產品尺寸常要分成若乾等級，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級，比如鞋的尺碼；當其中的最大尺寸與最小尺寸相差較大時(這種情況是多數)，常按等比數列進行分級，比如汽車的載重量、包裝箱的重量等 特別值得一提的是，數列在產品尺寸標准化方面有著重要作用 數列在整個中學數學教學內容中，處於一個知識匯合點的地位，很多知識都與數列有著密切聯系，過去學過的數、式、方程、函數、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的應用，而學習數列又為後面學習數列與函數的極限等內容作了鋪墊 課本採取將代數、幾何打通的混編體系的主要目的是強化數學知識的內在聯系，而數列正是在將各知識溝通方面發揮了重要作用 由於不少關於恆等變形、解方程(組)以及一些帶有綜合性的數學問題都與等差數列、等比數列有關，學習這一章便於對學生進行綜合訓練，從而有助於培養學生綜合運用知識解決問題的能力
本章教學約需17課時，具體分配如下：
3.1 數列 約2課時
3.2 等差數列 約2課時
3.3 等差數列前n項和 約2課時
3.4 等比數列 約2課時
3.5 等比數列前n項和 約2課時
研究性課題：分期付款中的有關計算 約3課時
小結與復習 約4課時

一、內容與要求
本章從內容上看，可以分為數列、等差數列、等比數列三個部分
在數列這一部分，主要介紹數列的概念、分類，以及給出數列的兩種方法 關於數列的概念，先給出了一個描述性定義，爾後又在此基礎上，給出了一個在映射、函數觀點下的定義，指出：「從映射、函數的觀點看，數列可以看作是一個定義域為正整數集(或它的有限子集)的函數當自變數從小到大依次取值時對應的一列函數值」 這樣就可以將數列與函數聯系起來，不僅可以加深對數列概念的理解，而且有助於運用函數的觀點去研究數列 關於給出數列的兩種方法，其中數列的通項公式，教材已明確指出它就是相應函數的解析式 點破了這一點，數列與函數的內在聯系揭示得就更加清楚 此外，正如並非每一函數均有解析表達式一樣，也並非每一數列均有通項公式(有通項公式的數列只是少數)，
因而研究遞推公式給出數列的方法可使我們研究數列的范圍大大擴展 遞推是數學里的一個非常重要的概念和方法，數學歸納法證明問題的基本思想實際上也是「遞推」 在數列的研究中，不僅很多重要的數列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個數列的通項公式的途徑：先得出較為容易寫出的數列的遞推公式，然後再根據它推得通項公式 但是，這項內容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數列的性質，從數列的遞推公式推導通項公式等，這樣就會加重學生負擔 考慮到學生是在高一學習，我們必須牢牢把握教學要求，只要能初步體會一下用遞推方法給出數列的思想，能根據遞推公式寫出一個數列的前幾項就行了
在等差數列這一部分，在講等差數列的概念時，突出了它與一次函數的聯系，這樣就便於利用所學過的一次函數的知識來認識等差數列的性質：從圖象上看，為什麼表示等差數列的各點都均勻地分布在一條直線上，為什麼兩項可以決定一個等差數列(從幾何上看兩點可以決定一條直線) 在推導等差數列前n項和的公式時，突出了數列的一個重要的對稱性質：與任一項前後等距離的兩項的平均數都與該項相等，認識這一點對解決問題會帶來一些方便
在等比數列這一部分，在講等比數列的概念和通項公式時也突出了它與指數函數的聯系 這不僅可加深對等比數列的認識，而且可以對處理某類問題的指數函數方法和等比數列方法進行比較，從而有利於對這些方法的掌握
二、本章的特點
(一)在啟發學生思維上下功夫
本章內容，是培養學生觀察問題、啟發學生思考問題的好素材，使學生在獲得知識的基礎上，觀察和思維能力得到提高
在問題的提出和概念的引入方面，為了引起學生的興趣，在本章的「前言」里用了一個有關國際象棋棋盤的古代傳說作為引入的例子 它用一個涉及求等比數列的前n項和的麥粒數的計算問題給學生造成了一個不學本章知識、難獲問題答案的懸念，又在學了等比數列後回過頭來解開這個懸念；在講等差數列與等比數列的概念時，都是先寫出幾個數列，讓學生先觀察它們的共同特點，然後在歸納共同特點的基礎上給出相應的定義
在推導結論時，注意發揮它們在啟發學生思維方面的作用 例如在講等差數列前n項和的公式時，沒有平鋪直敘地推導公式，而是先提出問題：
1+2+3+...+100 = ?，並指出著名數學家高斯10歲時便很快算出它的結果，以激發學生的求解熱情，然後讓學生在觀察高斯演算法的基礎上，發現上述數列的一個對稱性質：任意第k項與倒數第k項的和均等於首末兩項的和，從而為順利地推導求和公式鋪平了道路
在例題、習題的表述方面，適當配備了一些採用疑問形式的題，以增加問題的啟發成分 如3.3 例4：「已知數列的通項公式為 =pn十q，其中p、q是常數，那麼這種數列是否一定是等差數列? 如果是，其首項與公差是什麼?」 又如:「如果一個數列既是等差數列，又是等比數列，那麼這個數列有什麼特點？」這樣就增加了題目的研究性 在講有些例題時，加了一小段「分析」，通過不多的幾句話點明解題的思路 如對於上面提到的「3.3 例 4」，加的一段「分析」是：「由等差數列定義，要判定 { }是不是等差數列，只要看 是不是一個與n無關的常數就行了」 話雖不多，但突出了 「從定義出發」這種最基本的證明方法
課 題：3.1 數列的一般概念（一）
教學目的：
⒈理解數列及其有關概念，了解數列和函數之間的關系.
⒉了解數列的通項公式，並會用通項公式寫出數列的任意一項
⒊對於比較簡單的數列，會根據其前幾項寫出它的個通項公式
教學重點：數列及其有關概念，通項公式及其應用，前n 項和與an的關系
教學難點：根據一些數列的前幾項抽象、歸納數列的通項公式
授課類型：新授課
課時安排：1課時
教 具：多媒體、實物投影儀
內容分析：
本節主要介紹數列的概念、分類，以及給出數列的兩種方法 關於數列的概念，先給出了一個描述性定義，爾後又在此基礎上，給出了一個在映射、函數觀點下的定義，指出：「從映射、函數的觀點看，數列可以看作是一個定義域為正整數集(或它的有限子集)的函數當自變數從小到大依次取值時對應的一列函數值」 這樣就可以將數列與函數聯系起來，不僅可以加深對數列概念的理解，而且有助於運用函數的觀點去研究數列 關於給出數列的兩種方法，其中數列的通項公式，教材已明確指出它就是相應函數的解析式 點破了這一點，數列與函數的內在聯系揭示得就更加清楚 此外，正如並非每一函數均有解析表達式一樣，也並非每一數列均有通項公式(有通項公式的數列只是少數)
教學過程：
一、復習引入：
1．函數的定義．
如果A、B都是非空擻 集，那麼A到B的映射 就叫做A到B的函數，記作： ，其中
2．在學習第二章函數的基礎上，今天我們來學習第三章數列的有關知識，首先我們來看一些例子：
4，5，6，7，8，9，10． ①
1， ， ， ， ，…. ②
1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③
1，1.4，1.41，1.414，…. ④
-1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤
2，2，2，2，2，…. ⑥
觀察這些例子，看它們有何共同特點？（啟發學生發現數列定義）
上述例子的共同特點是：⑴均是一列數；⑵有一定次序.
從而引出數列及有關定義
二、講解新課：
⒈ 數列的定義：按一定次序排列的一列數叫做數列.
注意：⑴數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那麼它們就是不同的數列；
⑵定義中並沒有規定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現.
⒉ 數列的項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項. 各項依次叫做這個數列的第1項（或首項），第2項，…，第n 項，….
例如，上述例子均是數列，其中①中，「4」是這個數列的第1項（或首項），「9」是這個數列中的第6項.
⒊數列的一般形式： ，或簡記為 ，其中 是數列的第n項
結合上述例子，幫助學生理解數列及項的定義. ②中，這是一個數列，它的首項是「1」，「 」是這個數列的第「3」項，等等
下面我們再來看這些數列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系？這一關系可否用一個公式表示？（引導學生進一步理解數列與項的定義，從而發現數列的通項公式）對於上面的數列②，第一項與這一項的序號有這樣的對應關系：
項
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序號 1 2 3 4 5
這個數的第一項與這一項的序號可用一個公式： 來表示其對應關系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數列相應的各項
結合上述其他例子，練習找其對應關系
如：數列①： =n+3(1≤n≤7)；數列③： ≥1）；
數列⑤： （n≥1）
⒋ 數列的通項公式：如果數列 的第n項 與n之間的關系可以用一個公式來表示，那麼這個公式就叫做這個數列的通項公式.
注意：⑴並不是所有數列都能寫出其通項公式，如上述數列④；
⑵一個數列的通項公式有時是不唯一的，如數列：1，0，1，0，1，0，…它的通項公式可以是 ，也可以是 .
⑶數列通項公式的作用：①求數列中任意一項；②檢驗某數是否是該數列中的一項.
從映射、函數的觀點來看，數列也可以看作是一個定義域為正整數集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函數，當自變數從小到大依次取值時對應的一列函數值，數列的通項公式就是相應函數的解析式.
對於函數，我們可以根據其函數解析式畫出其對應圖象，看來，數列也可根據其通項公式畫出其對應圖象，下面同學們練習畫數列①，②的圖象，並總結其特點.
在畫圖時，為方便起見，直角坐標系兩條坐標軸上的單位長度可以不同. 數列①、②的圖象分別如圖1，圖2所示.
5．數列的圖像都是一群孤立的點.
6．數列有三種表示形式：
列舉法，通項公式法和圖象法.
7． 有窮數列：項數有限的數列.例如，數列①是有窮數列.
8．無窮數列：項數無限的數列. 例如，數列②、③、④、⑤、⑥都是無窮數列.

③ 王炳文的工作業績

（一）主要榮譽：
1．2007年9月被青島市人民政府評為青島市特級教師
2．2005年9月被青島市教育局評為青島市中小學學科帶頭人
3．2001年5月被青島市教育局評為青島市教學能手
4．2000年9月被青島市教育委員會評為青島市青年教師優秀專業人才
5．2008年12月被教育部課程教材研究所評為優秀實驗教師
6．2005年9月被中共萊西市委、萊西市人民政府記三等功
（二）主要論著：
1．2006年論文《數學競賽中的折疊、展開和拼接問題》在天津師范大學主辦的《中等數學》第四期上發表
2．2008年論文《對數列通項最值問題的一個解法的思考》在華中師范大學主辦的《數學通訊》第15期上發表
3．2008年論文《利用定積分和曲邊梯形面積的關系解題》在曲阜師范大學主辦的《中學數學雜志》第5期發表
4．2009年論文《極限思想在解題中的作用》在華中師范大學主辦的《數學通訊》第7期上發表
（三）公開課、優質課獲獎、科研課題成果
1．1999年12月在萊西一中舉行了課題為《數學歸納法》青島市數學公開課
2．2008年11月在萊西一中舉行了課題為《排列組合應用題》青島市數學公開課
3．2009年4月27日——-4月30日在萊西一中開展了青島市《開放課堂活動》

④ 數學找規律課件及教案

我覺得找規律填空的意義實際上在於加強對於一般性的數列規律的熟悉，雖然它有很多解，但主要是培養你尋找數列一般規律和猜測數列通項的能力（即運用不完全歸納法的能力），以便於在碰到一些不好通過一般方法求通項的數列時，能夠通過前幾項快速准確地猜測到這個數列的通項公式，然後再用數學歸納法或反證法或其它方法加以證明，繞過正面的大山，快速地得到其通項公式。所以我覺得找規律填空還是有助於我們增強解一些有難度又有特點的數列的。我以前也不太懂這個，後來學多了，就很拿手了.
1,2,4,7,11,16,（22）,（29）,
——相差為：1，2，3，4，5，6，…
2,5,10,17,26,（37）,（50）,
——相差為：3，5，7，9，…
0,3,8,15,24，（35）,（48），——相差為：3，5，7，9，…
找規律填空:9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,49-25=24.

⑤ 數學歸納法證明：n個平面若任3個都有公共點，任4個都沒有公共點，則這些平面把三維空間劃分成(n∧3+

(1)n=1時，分成兩個區域
(1^3+5×1+6)/6=2
所以成立，

(2)假設n=k時結論成立，
即分成
(k^3+5k+6)/6
個區域，
增加一個面後，
這個面會和前面的k個面有k條交線，
這k條交線都在新增的平面上，把新增的平面分成
2+2+3+……+k
=1+k(k+1)/2
個部分，
所以，對應的，空間區域的個數增加
1+k(k+1)/2個
(k^3+5k+6)/6+[1+k(k+1)/2]
=[(k+1)^3+5(k+1)+6]/6
所以，n=k+1時結論也成立。

⑥ 數學公式的學習方法有哪些

平時學習方面 1、養成良好的學習數學習慣。 建立良好的學習數學習慣，會使自己學習感到有序而輕松。高中數學的良好習慣應是：多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。學生在學習數學的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，並永久記憶在自己的腦海中。良好的學習數學習慣包括課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個方面。 2、及時了解、掌握常用的數學思想和方法 學好高中數學，需要我們從數學思想與方法高度來掌握它。中學數學學習要重點掌握的的數學思想有以上幾個：集合與對應思想，分類討論思想，數形結合思想，運動思想，轉化思想，變換思想。有了數學思想以後，還要掌握具體的方法，比如：換元、待定系數、數學歸納法、分析法、綜合法、反證法等等。在具體的方法中，常用的有：觀察與實驗，聯想與類比，比較與分類，分析與綜合，歸納與演繹，一般與特殊，有限與無限，抽象與概括等。 解數學題時，也要注意解題思維策略問題，經常要思考：選擇什麼角度來進入，應遵循什麼原則性的東西。高中數學中經常用到的數學思維策略有：以簡馭繁、數形結合、進退互用、化生為熟、正難則反、倒順相還、動靜轉換、分合相輔等。 3、逐步形成 「以我為主」的學習模式 數學不是靠老師教會的，而是在老師的引導下，靠自己主動的思維活動去獲取的。學習數學就要積極主動地參與學習過程，養成實事求是的科學態度，獨立思考、勇於探索的創新精神；正確對待學習中的困難和挫折，敗不餒，勝不驕，養成積極進取，不屈不撓，耐挫折的優良心理品質；在學習過程中，要遵循認識規律，善於開動腦筋，積極主動去發現問題，注重新舊知識間的內在聯系，不滿足於現成的思路和結論，經常進行一題多解，一題多變，從多側面、多角度思考問題，挖掘問題的實質。學習數學一定要講究「活」，只看書不做題不行，只埋頭做題不總結積累也不行。對課本知識既要能鑽進去，又要能跳出來，結合自身特點，尋找最佳學習方法。 4、針對自己的學習情況，採取一些具體的措施 （1）記數學筆記，特別是對概念理解的不同側面和數學規律，教師在課堂中拓展的課外知識。記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今後將其補上。 （2）建立數學糾錯本。把平時容易出現錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東西；能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對症下葯；解答問題完整、推理嚴密。 （3）熟記一些數學規律和數學小結論，使自己平時的運算技能達到了自動化或半自動化的熟練程度。 （4）經常對知識結構進行梳理，形成板塊結構，實行「整體集裝」，如表格化，使知識結構一目瞭然；經常對習題進行類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統一；使幾類問題歸納於同一知識方法。 （5）閱讀數學課外書籍與報刊，參加數學學科課外活動與講座，多做數學課外題，加大自學力度，拓展自己的知識面。 （6）及時復習，強化對基本概念知識體系的理解與記憶，進行適當的反復鞏固，消滅前學後忘。 （7）學會從多角度、多層次地進行總結歸類。如：①從數學思想分類②從解題方法歸類③從知識應用上分類等，使所學的知識系統化、條理化、專題化、網路化。 （8）經常在做題後進行一定的「反思」，思考一下本題所用的基礎知識，數學思想方法是什麼，為什麼要這樣想，是否還有別的想法和解法，本題的分析方法與解法，在解其它問題時，是否也用到過。 （9）無論是作業還是測驗，都應把准確性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，這是學好數學的重要問題。 解題方面 數學是應用性很強的學科，學習數學就是學習解題。搞題海戰術的方式、方法固然是不對的，但離開解題來學習數學同樣也是錯誤的。其中的關鍵在於對待題目的態度和處理解題的方式上。 ——首先是精選題目，做到少而精 只有解決質量高的、有代表性的題目才能達到事半功倍的效果。然而絕大多數的同學還沒有辨別、分析題目好壞的能力，這就需要在老師的指導下來選擇復習的練習題，以了解高考題的形式、難度。 ——其次是分析題目 解答任何一個數學題目之前，都要先進行分析。相對於比較難的題目，分析更顯得尤為重要。我們知道，解決數學問題實際上就是在題目的已知條件和待求結論中架起聯系的橋梁，也就是在分析題目中已知與待求之間差異的基礎上，化歸和消除這些差異。當然在這個過程中也反映出對數學基礎知識掌握的熟練程度、理解程度和數學方法的靈活應用能力。例如，許多三角方面的題目都是把角、函數名、結構形式統一後就可以解決問題了，而選擇怎樣的三角公式也是成敗的關鍵。 ——最後，題目總結 解題不是目的，我們是通過解題來檢驗我們的學習效果，發現學習中的不足的，以便改進和提高。因此，解題後的總結至關重要，這正是我們學習的大好機會。對於一道完成的題目，有以下幾個方面需要總結： ①在知識方面，題目中涉及哪些概念、定理、公式等基礎知識，在解題過程中是如何應用這些知識的。 ②在方法方面：如何入手的，用到了哪些解題方法、技巧，自己是否能夠熟練掌握和應用。 ③能不能把解題過程概括、歸納成幾個步驟（比如用數學歸納法證明題目就有很明顯的三個步驟）。 ④能不能歸納出題目的類型，進而掌握這類題目的解題通法

⑦ 自學高中數學

我把對應學科給你歸下類
第一類 矩陣論與線性代數學 ：從屬章節：矩陣與行列式初步，平面向量、空間向量
第二類：初等數學： 從屬章節 函數基本性質、不等式、冪函數指數函數對數函數三角函數 數列 極限與數學歸納法、復參數方程與極坐標方程、不等式證明、積化和差與和差化積
第三類：幾何學 從屬章節： 平面向量、直線方程、圓錐曲線、空間向量
第四類：初等概率論 排列組合二項式定理
第五類 計算機基礎： 演算法初步
根據難度排序由低到高：第五類（了解即可） 第一類 （不含向量）第四類 第二類 第三類
每個部分相對獨立，每個部分內部聯系比較密切，所以你可以參考著看，先易後難

⑧ 數學找規律課件及教案

我覺得找規律填空的意義實際上在於加強對於一般性的數列規律的熟悉，雖然它有很多解，但主要是培養你尋找數列一般規律和猜測數列通項的能力（即運用不完全歸納法的能力），以便於在碰到一些不好通過一般方法求通項的數列時，能夠通過前幾項快速准確地猜測到這個數列的通項公式，然後再用數學歸納法或反證法或其它方法加以證明，繞過正面的大山，快速地得到其通項公式。所以我覺得找規律填空還是有助於我們增強解一些有難度又有特點的數列的。我以前也不太懂這個，後來學多了，就很拿手了.
1,2,4,7,11,16,（22）,（29）, ——相差為：1，2，3，4，5，6，…
2,5,10,17,26,（37）,（50）, ——相差為：3，5，7，9，…
0,3,8,15,24，（35）,（48），——相差為：3，5，7，9，…
找規律填空:9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,49-25=24.

⑨ 湯家鳳中值定理公開課裡面的一道思考題。

f''(x)>0(a≤x≤b)這說明f(x)在[a,b]內為下凸函數
由下凸函數的性質：f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，
用數學歸納法證明：f(k1x1+k2x2+...+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+...+knf(xn).
當n=2時，由下凸函數的性質可知結論成立
設n=p時結論成立，即：f(k1x1+k2x2+...+kpxp)≤k1f(x1)+k2f(x2)+...+kpf(xp)
則當n=p+1時，
f(k1x1+k2x2+...+kpxp+k(p+1)x(p+1))
≤f(k1x1+k2x2+...+kpxp)+f(k(p+1)x(p+1))
（由第二步假設）≤[k1f(x1)+k2f(x2)+...+kpf(xp)]+k(p+1)f(x(p+1))
=k1f(x1)+k2f(x2)+...+kpf(xp)+k(p+1)f(x(p+1))
即n=p+1時定理也成立，故對一切n有定理成立
原命題得證