1. 小升初行程问题
顺流速度与逆流速度比9：6=3：2
每艘船顺流和逆流走过的路程相同，速度与时间反比版
所以顺流时间：权逆流时间=2：3
总时间1小时，则顺流1*2/5=0.4小时=24分钟，逆流60-24=36分钟
向上的先逆流36分钟向上，再顺流24分钟向下
向下的先顺流24分钟向下，再逆流36分钟向上
所以，同向时间为36-24=12分钟
2. 小升初有没有一些好的学习方法
小升初行程专题班： 据统计，如果一张试卷题目按 10 道题来计算，行程问题平均占 1.5 道，按 100 分来计 算，行程问题占其中 15-20 分。在近几年的考试中，行程问题往往作为能否进入重点中学最 重要的一道分层题目。因此在十一短训课程中，我们将会对“火车问题”“多人问题”“环 、 、 形问题”“时钟问题”“流水行船”“变速问题”等重点专题进行详细分析。 、 、 、 行程问题的学习方法 在各类小升初考试与各大杯赛的命题中， 行程问题从来就是出题人的最爱。 巨人学校小学数 学教材研发中心统计了从 2000 起年至今共 9 年的各校小升初试题及杯赛试题，其中有 99.26%的试卷都包含行程问题；如果把统计范围缩小到近 5 年，那这一比例则达到了 100%. 可以说，行程问题已经成为各校小升初考试与各大杯赛的必考题！ 但是，对于众多面临小升初的同学而言，行程问题却又是学习上无法逾越的一道障碍。 很多同学在行程问题上饱受挫折，在考试时行程问题既是必考题，也是必错题，以至于有的 同学根本无心花力气在行程问题上， 只要一遇到行程问题就会主动躲开、 主动放弃！ 这一点， 无论家长还是学生都感到很无奈。 难道行程问题真的那么难学吗？ 难道行程问题真的就没有办法学好了吗？ 你是否在为学习行程问题而烦恼？ 你是不是一见到行程问题就只想躲、不想做？ 你是否总为求解行程问题不得要领而一筹莫展？ 你父母在给你辅导行程问题时，是不是常常自己也想得一头雾水？ 下面的学习指南将会一一解开你心中的疑惑，传授给你攻克小升初行程问题的独门秘 籍！ 一、 行程问题学习方法综述 学习行程问题时有哪些坏毛病会阻碍你进步？ 1. 学习行程问题时有哪些坏毛病会阻碍你进步？ （1） 不画线段图学习行程问题最重要的当属画图！ 很多同学不喜欢画图、 没习惯画图， 甚至懒得画图，这是阻碍一个人学习行程问题最普遍的问题。很多同学在处理行程问题时， 往往是简单题目不屑于画，难题却又不会画，结果学了半天也没有机会用上线段图，而这恰 恰是行程问题的基本功。试想一下，连线段图都不去用，怎么可能学好行程问题？！ 那么为什么很多同学在画图时， 感觉难以下笔、 不知所措呢？这就涉及到了下一个问题。 （2） 缺乏对机械运动的想象力行程问题无一例外都是考察一系列物体的机械运动，因 此对整个运动过程的想象和把握就显得格外重要。 在读题过程中， 很多人仅仅只是把题目像 流水账一样的过目一遍，很少有在脑子里想象运动场景的习惯，即使会去想象的，也往往没 怎么想清楚就草草了事。这样一来，看似读了半天题，其实也还是一头雾水。就凭这样的读 题效果，怎么可能下手画图？就算画出来，也不是线段图，而是"鬼画符"！ 相反，有想象力的人在读题时，往往能像放电影一样在脑子里想象整个行程过程，在读 完题目后就对整个行程过程有了一个大致的把握， 再下手画图自然能组织好图形的结构， 画 得比较到位。 机械运动想象力的重要性从另一个侧面也体现得很明显， 通常男生做行程问题要比女生 强，其实就在于男生对于机械运动的兴致高于女生。平常喜欢的车、船、炮、球等等事物都 和机械运动有关，因此男孩子在处理行程问题时会比女孩子更能想象。从某种程度上说，男 孩子对机械运动的想象力是在平时生活中"玩"儿出来的， 而至于女孩子， 那就必须加强在机 械运动方面的想象力才行。 （3） 缺乏耐性很多同学在面对过程有点儿复杂的行程问题时，不是静下心来好好想， 而是满脑子只想尽快把问题搞定。 为了能尽快解决问题， 稀里糊涂地在那里乱凑一通——这 样的解题习惯极具破坏性。不仅破坏了自己的解题品味，也破坏自己的做事习惯。无论从学 习数学的角度讲，还是从学习做事的角度讲都是百害而无一利。 （4） 缺乏勇气由于在行程问题的学习上屡遭挫败，很多同学已经认定自己在行程问题 上不可能有所作为。只要一遇到行程问题，主观上就在退却，结果明明能做的题目也给放弃 了。经常听有人在感慨："早知道这道行程问题那么简单，我就多想想了。"正是由于缺乏面 对问题的勇气，才使得很多得分机会与自己失之交臂。可以说，克服对行程问题的恐惧是攻 克行程问题这座堡垒必须迈出的第一步！ 2. 如何学好行程问题 （1） 鼓起勇气，树立信心要想学好行程问题，首先得相信自己能学好！行程问题不是 尝试着学一下，看能不能学好的问题，而是必须学好的问题！它太重要了，如果你没有信心 和勇气攻克它， 就意味着你的小升初已经输掉了一半。 难道你愿意接受自己作为半个失败者 吗？！如果不愿意，那就鼓起勇气，相信自己能行！ 行程问题由不得你对自己没信心！一定要勇敢些，不要怕！ （2） 培养自己的想象力在阅读行程问题时， 一定要同时在脑子里不停的想象行程过程， 在读完题目之后就像看了场电影一样，而电影里放的就是题目里的情节。 （3） 勤动手画图、列表不管题目是简单还是难，在经过对行程过程的想象后，都要认 真规范的将图画出。简单题目不能不屑于画，复杂题目也决不能画几下就放弃了，耐心点琢 磨，耐心点画，画着画着就柳暗花明又一村了。 有的行程问题，题目较长、内容较多。为了能更好的把握题意，应该采用列表整理的方 式来缕清思路，绝不能在读完题目之后，任由自己的大脑一团浆糊。如果感觉到糊涂，就一 定要想法子缕清楚。 学数学要牢记一点，那就是：时刻保证自己头脑清醒、思路清晰。 （4） 要有耐性不要总想着赶快做完、赶快做完。希望问题赶紧解决和希望问题主动消 失一样，都是不切实接的一厢情愿。今天哪怕只做这一道题，把这道题目攻克，那也是莫大 的收获！即使今天没有做出来，也没关系，只要去认真思考、动手分析，就一定有收获。 平时练习和考试不一样，只要尽力去做就是好样的，即便没做出来也一样有价值、有意 义。 行程的分类解析 行程问题从运动形式上分可以分为五大类： 五大题型、四大方法相互交织，就构成了整个小学行程问题的知识架构。这其中的交织与 综合不仅仅是题型与方法之间的交织， 也有题型之间的重叠， 比如环形问题就可以有环形路 线上的流水行船， 而火车问题也可以有多辆火车之间的错车问题……至于解题方法的重叠那 更是比比皆是，一道稍有分量的行程问题就需要运用至少两种解题方法……诸如此类的综 合，既是行程问题变化多端的原因，也是行程问题难学的原因。想要将上述题型与方法融会 贯通、运用自如，首先得分门别类的把各类问题学好，并穿插以各类解题方法的训练，然后 在此基础之上再进行综合。 下面我们就以五大题型为主线， 以典型例题的形式对行程问题的整个知识架构做一个系 统性梳理， 并在例题的讲解中穿插解题方法的总结， 让大家对小学阶段行程问题的题型与方 法有一个总体把握。每道例题的关键思路都已给出，大家顺着这些思路可以自行求得答案。 每道例题的标准答案都附在手册的最后，大家可以对照参考。 1. 直线上的相遇与追及 上述两个公式大家都很熟悉，对于相遇、追及问题的理解，就是从它们开始的。一般情 况下，我们会把速度和、路程和与相遇问题联系在一起，而把速度差、路程差与追及问题联 系在一起。这样的理解过于表面化，真正体现这两个公式本质的字眼儿是"和"与"差"：只要 涉及到速度和、路程和的问题就应该用第一个公式，即使题目的背景是追及；而只要涉及到 速度差、路程差的问题就应该用第二个公式，即使题目的背景是相遇。 乙两辆汽车同时从东西两地相向开出， 千米， 例题 1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行 56 千米，乙每小时行 千米， 千米处相遇。 东西两地间的距离是多少千米？ 48 千米，两车在离两地中点 32 千米处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米？（某重点 中学 2007 年小升初考题） 「思路解析」本题表面上看是一个典型的相遇问题，其实里面暗藏了路程差的关系。那 思路解析」 路程差的关系究竟藏在哪个条件中呢？就在条件"两车在离两地中点 32 千米处相遇"这句话 中。大家不妨自己动手试着做一做。 除了像刚才例题 1 那样一次性的追及与相遇过程外， 还有很多相遇与追及问题是在往返 过程中多次发生的。下面就是一道这样的例题： 米的游泳池里来回游泳， 例题 2. 两名游泳运动员在长为 30 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游 1 米， 他们同时分别从游泳池的两端出发， 分钟。 乙的速度是每秒游 0.6 米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了 5 分钟。如果 不计转向的时间， 那么在这段时间内两人共相遇多少次？ （某重点中学 2006 年小升初考题） 不计转向的时间， 那么在这段时间内两人共相遇多少次？ 「思路解析」相遇次数与两人的路程和有关．如下图所示 思路解析」 直线上的相遇、 追及是行程问题中最基本的两类问题， 这两类问题的解决可以说是绝大 多数行程问题解决的基石． 只要是两个物体在同时运动， 它们之间的关系一般都可以表示为 相遇或追及．而众多丰富多彩、妙趣横生的行程过程，均是以此为蓝本而展开的． 火车过人、 2. 火车过人、过桥与错车问题 在火车问题中，速度和时间并没有什么需要特殊处理的地方，特殊的地方是路程。因为 此时的路程不仅与火车前进的距离有关，还与火车长、隧道长、桥长这些物体长度相关。就 拿火车过桥来说， 如果题目考察的是火车过桥的整个过程， 那么就应该从"车头上桥"开始到 "车尾下桥"结束，对应的路程就等于"车长 桥长"；如果题目考察的是火车停留在桥上的过 程， 那就应该从"车尾上桥"到"车头下桥"结束。 对应的路程就应该是"火车车长 桥长".具体 如下所示： 例题 3. 一列客车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒。已知在 客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车， 客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为 320 米，速度每秒 17 米。求列车与 货车从相遇到离开所用的时间。 货车从相遇到离开所用的时间。（仁华学校 2005 年五年级上学期期末考试试题） 「思路解析」本题包含了两个基本类型的火车问题，一是火车过隧道问题，二是火车错 思路解析」 车问题。 而这两者之间最关键的是第一个过程的分析， 分析方法就是前面所说的四大方法中 的第三点——"利用和差倍分关系进行对比分析"：250 米的隧道比 210 米的隧道多 40 米， 从而使得客车通过前者的时间比后者多了 秒，由此即可得出客车的速度。有了客车速度， 再求客车长度以及错车时间就非常容易了。大家不妨自己动手算算。 当然，火车问题并非只有火车，一个有长度的队列也是这类问题的常客。下面这道题目 就是一个队列问题，有兴趣的同学不妨自己动手尝试一下。在必要时，还可以借助于方程进 行求解。 米的速度行进。 例题 4. 某解放军队伍长 450 米，以每秒 1.5 米的速度行进。一战士以每秒 3 米的速度 从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？ 从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？（某重点中学 2008 年小升初考题） 3. 多个对象间的行程问题 虽然这类问题涉及的对象至少有三个，但在实际分析时不会同时分析三、四个对象，而 是把这些对象两两进行对比。因此，求解这类行程问题的关键，就在于能否将某两个对象之 间的关系，转化为与其它对象有关的结论。 有甲、 例题 5. 有甲、乙、丙 3 人，甲每分钟走 100 米，乙每分钟走 80 米，丙每分钟走 75 米。 现在甲从东村， 分钟后， 现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇 6 分钟后，甲又 丙两人从西村同时出发相向而行， 与丙相遇。那么， 与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？（2008"港澳数学奥林匹克公开赛"试 西两村之间的距离是多少米？ 题） 「思路解析」本题最关键的一段路程，就是甲、乙相遇之后 6 分钟内，甲、乙两人的路 思路解析」 程和。这段路程既是甲、乙的路程和，又是乙、丙的路程差。只要明白了这一路程的双重身 份，就能很快求出此题。大家不妨画出图来，自己分析一下。 4. 环形问题与时钟问题 环形问题与其它行程问题相比，最大的特点就在于"周期性"与"对称性".这是由环形跑 道本身的特点决定的。 大家再分析环形问题时， 一定要留意"周期性"与"对称性"在题目中的 体现。 乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。 例题 6. 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。现在已知甲 分钟， 分钟甲、乙二人相遇 走一圈的时间是 70 分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是 多少分钟？ 多少分钟？（第十六届"全国小学数学奥林匹克"竞赛初赛试题） 「思路解析」本题从头到尾都只有时间：给的条件是时间，问的问题也是时间。像这种 思路解析」 只给时间、求时间的问题，通常的做法就是——设数。把路程或速度这两个未知量中的某一 个量随便设个数，然后再进行求解。本题就可以设环形公路的全程为 6300 米，接着便可求 甲、乙两人的速度了。接下来的过程，大家不妨自己动手试一试。 时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合； 例题 7. 有一座时钟现在显示 10 时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合； 再经过多少分钟，分针与时针第二次重合 再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？（北京市第十一届"迎春杯"决赛试题） 「思路解析」时钟问题本质上说就是一个环形问题，只要给出合适的速度、路程、时间 思路解析」 的表示，求解过程与一般环形问题没什么两样。大家不妨自己动手做一做。 5. 流水行船问题 流水行船问题与其它行程问题相比，特殊的地方在于速度。由于有水流的因素，船的速 度有顺流、逆流的区别，因此在流水行船问题中，船的速度有三种：逆水速度、静水速度、 顺水速度。在分析流水行船问题时，一定要把水流的因素考虑到位，很多题目分析的关键本 身就在水流上！ 乙两船分别在一条河的 两地同时相向而行，甲顺流而下， 例题 8. 甲、乙两船分别在一条河的 A，B 两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而 地后， 上。相遇时，甲乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达 B 地、乙到达 A 地后， 相遇时，甲乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进， 都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时， 都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行 1000 米。如果从第一次相遇 那么河水的流速为每小时多少千米？ （某重点中学 2003 到第二次相遇时间相隔 1 小时 20 分， 那么河水的流速为每小时多少千米？ 年小升初考题） 「思路解析」甲、乙两船刚出发时行驶速度相同，但一个顺流、另一个逆流，说明两船 思路解析」 静水速度差了两倍的水速（甲慢乙快）。调头之后，甲变为逆流，乙变为顺流，此时两船行 驶速度应该差几倍的水速？考虑清楚这点，你就知道如何利用甲、乙的速度差来求水速了。 「思路解析」本题是一道环形跑道上的流水行船问题，是一道综合性很强的行程问题。 思路解析」 本题的分析关键也在于速度， 如果甲、 乙两人的速度已知， 那本题的求解就没有任何悬念了。 因此，分析求解的重点就落在了甲、乙两人的速度上。大家只要注意到甲、乙的速度差恰好 等于水速这一点，就不难进行分析了。大家不妨动手试试。 上述 9 道例题可以说只是小升初行程问题的一个掠影， 虽然每一道都是其所在类别里最 为典型的例题，但稍加变化都会变出来很多新的模样。而且，题目除了会在每一类中发生变 化外，还会发生类与类之间的交叉与综合，不仅在运动形式上变化多端，而且在分析方法上 也是花样迭出。 但是，我们需要关心的绝对不是变化，而是在千变万化中不变的东西。行程问题固然变 化多端，但无论怎么变，也逃不出本文一开始提到的那"五大题型"与"四大方法"，只是在题 型上会更加综合， 在题解上用到的方法会更多一些。 但只要这"五大题型"和"四大方法"掌握 好，题目再怎么综合、方法再怎么多，也一样是小菜一碟。 行程问题学习时的具体操作方案与建议 1. 如果你能在"思路解析"的提示下，做出上述 9 道例题中的至少 7 道，就说明你对行 程问题的基本知识掌握的还算扎实，在平时练习时就应该以中、高难度的题目为主。智泉数 学工作室新编的《数学思维训练导引》中的拓展篇、超越篇就比较适合你，你可以挑选其中 难度在三星或三星以上的题目来练习。 在平时报专题班学习时， 也应该选择难度档次较高的 班级，以使得自己有更大的提高。 2. 如果上述 9 道例题在"思路解析"的提示下，你能做出的题目不超过 2 道，则说明对 行程问题基本知识的掌握还很不够，必须加强基本题的训练。 《数学思维训练导引》中的兴 趣篇就是最理想的练习题来源。 大家可以挑难度在三星或三星以下的题目来练习。 在平时报 专题班时，也应该尽量选择基础班型，切忌拔苗助长。 3. 对于绝大多数介于上述两种情况之间的，可以两者兼顾。一般做对 5 道或 5 道以上 的同学可以采取第一种建议，但也要注意基本功的训练。而做对 5 道以下的同学，更多的得 采用第二种建议，在基础砸牢了之后，再去做难度较高题、上难度较高的班。 小升初数论专题班 小升初数论专题班 小升初数论专题班： 小升初数论专题班： 在历年的小升初选拔考试中， 数论与行程问题不仅占据着最大的篇幅， 而且霸占着几乎 所有的难点。 因此在十一短训课程中， 我们将会从 “整除求和” 、 “分解质因数及其实际应用” 、 “约数与倍数”“数论中的代数方法”四个方面对数论问题进行全方位的扫描，深刻理解整 、 数的分拆分解问题，从而在实际应用与小升初考试中傲视群雄。 学习方法 与行程、几何两座大山相比，数论问题在小学阶段显得并不那么威武。原因有三个：首先， 数论作为一个数学门类， 其主流的分析方法基本上是代数方法， 在更加注重算术方法的小学 阶段，不可能对数论问题有太深入的讨论；其次，到了中学阶段后，数论并非正规中学课堂 教学内容，除了数学竞赛会考数论外，中考、高考都不考数论，因此各重点中学在挑选学生 时，也不会特别强调学生的数论基础；最后，从小升初考试命题人的角度来说，各重点中学 的命题老师往往都是本校的骨干教师，既然中、高考不考数论，那些老师本身对数论知识也 就不太熟悉，所以一般也不怎么出数论题。 但话又说回来，由于数论是专属于竞赛数学范畴的教学内容，在竞赛命题人那里，数论 却又是一个扛大梁的角色。在各大赛事的命题中，数论的比重从来不低，甚至超过几何与行 程。 下面是最近 3 年各大杯赛和小升初考试中数论题所占的分值比例。 从中大家可以很清楚 地看到小升初考试和各大杯赛命题中，数论知识所占比重的差异。 仁华学校前些年的试卷均由数学竞赛背景很深的资深教师， 或在国际数学竞赛上拿奖的 金牌选手命题，因此试卷风格偏竞赛，数论比重较大。而近些年来，人本不从事竞赛教育的 一线教师参与命题的比重越来越大，数论知识的含量也就随之降低。至于实验中学的考题， 数论知识一贯不多。 但"华杯"、 "迎春杯"这些以难度著称高水平比赛， 数论的比重就比较大。 所以数论知识的多少可以说是试卷难度的一个风向标。 既然杯赛和小升初考试对数论知识的难度要求有所差异， 那我们究竟应该以一个什么样 的态度来对待小升初的数论学习呢？我们的建议是： 牢固掌握基础， 牢固掌握基础，难题量力而行 毕竟小升初考试是各中学挑选学生的直接手段， 杯赛成绩只作参考。 如果为了简历上的 一纸证明而狂做难题，可能时间会花的很不值。而且不管要不要狂做难题，学好数论都得先 打牢基础，因此不管奥数学的好坏，都得重视基础。而且，数论可以说是小学奥数中最强调 基本功的一个门类， 很多看似花里胡哨的技巧其实都源自基本功的熟练， 而基本功熟练的同 学不需要老师教， 自己都能发现很多巧妙的解法。 因此数论学习必须把基本功的训练放在最 最重要的位置！ 分类解析 数论学习与几何 行程的区别在哪里？ 几何、 1. 数论学习与几何、行程的区别在哪里？ 数论比几何、行程更强调基本功的训练，更强调知识点之间的前后联系。几何与行程可 能从半路开始学也能学好， 毕竟几何与行程的各知识点独立性较强， 前后之间的关联度不算 太高，比如你不懂直线形比例一样能学立体几何，不懂火车过桥也一样能学流水行船。但数 论知识就不同，它的知识结构是一个非常系统的链状结构，如果前面的某一环断了，后面的 就会全部散落。 也正因为它的知识点是环环相扣的， 想要学好后面的内容就一定要把前面的 基础打牢，否则进入下一个环节就会举步维艰。 另外，想要学好几何、行程，常常解一些难题是少不了的，但学习数论却未必如此。很 多时候，熟练的基本功就是解决难题的法宝。而且只要基本功熟练了，一些很复杂的解题技 巧也会变得异常好懂。可以说，在数论中，基本功的熟练本身就是解题技巧